PRIMZAHLZWILLING

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Primzahlzwilling




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Primzahlzwilling


Anzahl der Primzahl-Zwillingspaare kleiner gleich n

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).


Primzahlzwilling Geschichte


Der Begriff Primzahlzwilling wurde erstmals von Paul Stäckel benutzt.


Primzahlzwilling Definition


Primzahlzwillinge nennt man zwei Primzahlen p_{1} und p_{2}, deren Differenz p_{2}-p_{1}=2 ist. Die Primzahl p_{2}=p_{1}+2 wird dabei auch als Primzahlzwilling zur Primzahl p_{1} bezeichnet.


Primzahlzwilling Eigenschaften


Mit Ausnahme des Primzahlzwillings (3,5) liegt zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings immer eine durch 6 teilbare Zahl. Jede ganze Zahl lässt sich nämlich in der Form 6n-2, 6n-1, 6n, 6n+1, 6n+2 oder 6n+3 darstellen, wobei n eine ganze Zahl ist. Zahlen der Form 6n-2, 6n und 6n+2 sind durch 2 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Zwei keine Primzahlen sein. Zahlen der Form 6n+3 sind durch 3 teilbar und können deswegen mit Ausnahme der Drei auch keine Primzahlen sein. Somit haben alle Primzahlen über 3 die Form 6n-1 oder 6n+1. Daraus folgt, dass jeder Primzahlzwilling mit Ausnahme von (3,5) die Darstellung (6n-1,6n+1) hat.

n (6n-1) (6n+1)
1 5 7
2 11 13
3 17 19
5 29 31
7 41 43
10 59 61
12 71 73
17 101 103
18 107 109
23 137 139
25 149 151
30 179 181
n (6n-1) (6n+1)
32 191 193
33 197 199
38 227 229
40 239 241
45 269 271
47 281 283
52 311 313
58 347 349
70 419 421
72 431 433
77 461 463
87 521 523
n (6n-1) (6n+1)
95 569 571
100 599 601
103 617 619
107 641 643
110 659 661
135 809 811
137 821 823
138 827 829
143 857 859
147 881 883
170 1019 1021
172 1031 1033
n (6n-1) (6n+1)
175 1049 1051
177 1061 1063
182 1091 1093
192 1151 1153
205 1229 1231
213 1277 1279
215 1289 1291
217 1301 1303
220 1319 1321
238 1427 1429
242 1451 1453
247 1481 1483
n (6n-1) (6n+1)
248 1487 1489
268 1607 1609
270 1619 1621
278 1667 1669
283 1697 1699
287 1721 1723
298 1787 1789
312 1871 1873
313 1877 1879
322 1931 1933
325 1949 1951
333 1997 1999

Mit Ausnahme von n=1 ist die letzte Ziffer eines n eine 0, 2, 3, 5, 7 oder eine 8, da im anderen Fall eine der beiden Zahlen 6n-1 bzw. 6n+1 durch 5 teilbar und damit keine Primzahl wäre.

Mit einer ganzen Zahl n lässt sich jede ungerade Zahl in der Form 30n+1, 30n+3, 30n+5, 30n+7, ..., 30n+25, 30n+27, 30n+29 (letztere auch als 30n-1) darstellen. Primzahlen (außer 3 und 5) sind aber nie von einer der 7 Formen 30n+3, 30n+5, 30n+9, 30n+15, 30n+21, 30n+25 und 30n+27, da Zahlen dieser 7 Formen stets durch 3 oder durch 5 teilbar sind.

Daher hat jedes Primzahlzwillingspaar (außer (3, 5) und (5, 7)) mit einer ganzen Zahl n genau eine der drei Formen

(30n-1, 30n+1), (30n+11, 30n+13), (30n+17, 30n+19)

bzw. die letztere Darstellung, um die Symmetrie zu (30n+11, 30n+13) zu verdeutlichen, alternativ geschrieben als (30n-13, 30n-11).


Primzahlzwilling Sonstiges


Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3, 5).

Das größte derzeit (Stand Dezember 2011) bekannte Paar von Primzahlzwillingen ist

3756801695685 · 2666669 ± 1

das sind Zahlen mit 200.700 Ziffern. Die neuen Rekordzahlen[1] haben damit fast doppelt so viele Ziffern wie die Zahlen des bisherigen Rekords aus dem Jahr 2009. Das Zahlenpaar wurde von dem DC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Zwei Primzahlzwillinge mit dem Abstand von vier, also Folgen der Form (p,p+2,p+6,p+8), nennt man Primzahlvierlinge.


Primzahlzwilling Offene Fragestellung


Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die Primzahlzwillings-Vermutung besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Sie ist eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie.

Yitang Zhang (University of New Hampshire) bewies im Mai 2013, dass es unendlich viele Primzahlpaare gibt, deren Abstand voneinander maximal 70.000.000 ist.[2][3][4] Auf diesem Ansatz basierend konnte die Zahl von 70.000.000 inzwischen auf nur 272 herabgesetzt werden.[5] Ein weiteres Reduzieren dieser Zahl bis auf 2 würde die Primzahlzwillings-Vermutung zwar beweisen; Experten halten dies mit dem von Zhang entdeckten Ansatz aber für unmöglich.[6]

Während die Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergent ist (Leonhard Euler), hat Viggo Brun im Jahr 1919 bewiesen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Daraus kann man weder schließen, dass es endlich, noch, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Der Grenzwert der Summe wird Brunsche Konstante genannt und beträgt nach der neuesten Schätzung von 2002 etwa 1,902160583104.

asymptotisch durch die Formel

2\,C_{2}\int _{2}^{x}\!{\frac  {{\mathrm  d}t}{(\log t)^{2}}}

mit der Primzahlzwillingskonstante (Folge A005597 in OEIS)

C_{2}=\prod _{{p>2 \atop p\;{\text{prim}}}}{\Bigl (}1-{\frac  {1}{(p-1)^{2}}}{\Bigr )}=0{,}66016{\text{ }}18158{\text{ }}46869{\text{ }}57392...

gegeben. Da die Primzahlen nach dem Primzahlsatz asymptotisch eine Dichte {\tfrac  {1}{\log t}} besitzen, ist die Vermutung durchaus plausibel, und auch numerisch lässt sich die asymptotische Form gut bestätigen. Sie ist aber wie die Primzahlzwillingsvermutung unbewiesen. Da aus der Vermutung von Hardy und Littlewood die Primzahlzwillingsvermutung folgt, heißt sie auch starke Primzahlzwillingsvermutung.[8]

Nachdem Paul Erdős 1940 gezeigt hatte,[9] dass eine positive Konstante c < 1 existiert, so dass für unendlich viele Paare aufeinanderfolgender Primzahlen p, p' die Ungleichung p'-p<c\log(p) gilt, bemühte man sich, immer kleinere Werte für c zu finden. Die Mathematiker Dan Goldston und Cem Yıldırım veröffentlichten 2003 einen Beweis, mit dem sie behaupteten, bewiesen zu haben, dass c beliebig klein gewählt werden kann, womit es in der unendlichen Folge der Primzahlen immer wieder kleine Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen geben würde. Andrew Granville fand noch im selben Jahr einen Fehler in dem 25-seitigen Beweis. Im Februar 2005 konnten Goldston, Yıldırım und Pintz eine Korrektur vorlegen.[10] Diese wurde von den damaligen Fehlerfindern überprüft und als korrekt gewertet. Der neu vorgelegte Beweis verspricht nach Ansicht einiger Zahlentheoretiker, ein wichtiger Schritt zu einem Beweis der Primzahlzwillingsvermutung zu sein.[11]

Eine Verallgemeinerung der Primzahlzwillingsvermutung ist die Vermutung von Polignac ([12] Die Vermutung ist offen. Über die Dichte der Primzahlabstände n gibt es analog zum Fall n=2 eine Vermutung von Hardy und Littlewood.


Primzahlzwilling Literatur



Primzahlzwilling Weblinks



Primzahlzwilling Einzelnachweise


  1. Twin Prime Records
  2. Nature Online, 2013
  3. Mathematik: Chinese gelingt Beweis über Primzahlzwillinge - SPIEGEL ONLINE, 22. Mai 2013
  4. Neues aus der Zahlentheorie: Ein Beweis der Primzahl-Zwillings-Vermutung rückt näher - Wissenschaft Hintergründe - NZZ.ch Neue Zürcher Zeitung vom 22. Mai 2013
  5. Bounded gaps between primes
  6. Tao, Terence Bounded gaps between primes (Polymath8) - a progress report
  7. G. H. Hardy, J. E. Littlewood: Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes (PDF-Datei, 2,5 MB), Acta Mathematica 44, 1923, S. 1–70 (englisch)
  8. Eric W. Weisstein: Twin Prime Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  9. Paul Erdős: The difference of consecutive primes, Duke Mathematical Journal 6, 1940, S. 438–441 (englisch). Siehe Jerry Li: Erdos and the twin prime conjecture (PDF-Datei, 157 kB), 2. Juni 2010 (englisch)
  10. D. A. Goldston, J. Pintz, C. Y. Yıldırım: Primes in tuples I, arXiv-Preprint math.NT/0508185, 2005 (englisch); vereinfacht in D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz, C. Y. Yıldırım: Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82, 2006, S. 61–65 (englisch)
  11. May 2005: Breakthrough in Prime Number theory beim American Institute of Mathematics (englisch)
  12. Polignac Conjecture, Mathworld


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