DYNAMISCHER AUFTRIEB

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Dynamischer Auftrieb




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Dynamischer Auftrieb


Der dynamische Auftrieb ist eine zentrale Größe in der Strömungslehre. Er ist der Anteil der auf einen umströmten Körper wirkenden Kraft, der senkrecht zur Anströmrichtung steht. Der dynamische Auftrieb ist das physikalische Grundprinzip für die Funktion von Tragflächen von Flugzeugen, Schiffsschrauben, Schratsegeln und Turbinen.

Die Entstehung von Auftrieb aus horizontaler Anströmung wird mit der Methodik der Hydrodynamik erklärt. Diese ist Teil der klassischen Mechanik und gehorcht deshalb den Newtonschen Gesetzen und den hieraus abgeleiteten Erhaltungssätzen (Impuls- und Energieerhaltung). Bei kompressiblem Medium (Gas) ist außerdem eine thermodynamische Betrachtung der Vorgänge erforderlich.

Auftrieb entsteht bei Umströmung entsprechend geformter Körper, z. B. Tragflächen. Hierbei wird die Luft nach unten umgelenkt, also beschleunigt. Der abwärts gerichteten Kraft auf die Luft entspricht als Gegenkraft die aufwärts gerichtete Kraft auf die Tragfläche, der Auftrieb.[1]


Dynamischer Auftrieb Einführung


Bei der Bewegung eines Körpers einer bestimmten Form und Position relativ zu einem Gas oder einer Flüssigkeit wirken auf den Körper Kräfte, die durch die Umströmung hervorgerufen werden (Bernoulli-Effekt). Im Gegensatz zum statischen Auftrieb ist die Richtung des dynamischen Auftriebs nicht durch die Schwerkraft definiert, sondern durch die Richtung der Anströmung. Die gesamte Strömungskraft wird in zwei Komponenten zerlegt: in den Widerstand gegen die Anströmrichtung und den Auftrieb senkrecht dazu.

  1. Der dynamische Auftrieb ist die Kraftkomponente senkrecht zur Strömungsrichtung.
    F_\mathrm{A} = c_\mathrm{A} \, \frac{\rho}{2} \, v^2 \, A     (cA = Auftriebsbeiwert)
  2. Die zweite Kraftkomponente wirkt gegen die Strömungsrichtung und wird Strömungswiderstand genannt.
    F_\mathrm{W} = c_\mathrm{W} \, \frac{\rho}{2} \, v^2 \, A     (cW = Widerstandsbeiwert)

Jeweils mit:

A = Auftriebsfläche/Tragfläche (alle Kräfte beziehen sich also auf die gleiche Fläche),
\rho = Dichte des Mediums,
v = Anströmgeschwindigkeit.

Die Resultierende der beiden Komponenten ergibt Betrag und Richtung der Kraft, welche auf den Körper wirkt. Sie greift am Druckpunkt an.


Dynamischer Auftrieb Funktionsprinzip


Für Grundüberlegungen zum Verständnis des Auftriebs wird der Luftraum aus kubischen, luftgefüllten Raumelementen zusammengesetzt. Jedes dieser Luftvolumina muss von seiner Umgebung getragen werden, sonst würde es zum Erdboden stürzen:[2]

  • Volumina, die nur Luft enthalten, werden durch den statischen Auftrieb nach Archimedes von der Umgebung getragen. Die Druckdifferenz zwischen der unteren Fläche und der oberen Fläche eines Volumens, die sich durch die Druckabnahme mit zunehmender Höhe ergibt, ist die Gegenkraft zur Schwerkraft (siehe auch hydrostatischer Druck).
  • Volumina, die das Flugzeug (den Vogel,…) ganz enthalten, müssen mitsamt dem Flugzeug von ihrer Umgebung getragen werden. Die folgenden Ausführungen zeigen, dass hierfür innerhalb des Volumens auf die Luft ein Impuls nach unten erzeugt wird. Die Gegenkraft der Impulsproduktion ist der Auftrieb. Dieser Impuls bleibt erhalten.

Leicht nachvollziehbare Experimente unterstützen dieses Erklärungsmodell:

  • Der Tischventilator bläst ständig frische Luft fühlbar in erstaunlich große Entfernungen.
  • Eine Postkarte, horizontal und mit Anstellwinkel über eine Kerze bewegt, bringt deren Flamme auch aus erstaunlich großer Höhe zum Flackern.

Auch in Entfernungen, in denen diese Effekte nicht mehr spürbar sind, gilt der Satz der Impulserhaltung, nach dem sich der Impuls nur unter Einfluss von Kräften ändert. Vermischt sich zum Beispiel vom Ventilator abgeblasene Luft mit der Umgebung, ist dieser Prozess impulserhaltend. Durch die Vermischung ist wohl eine größere Masse Luft am Impuls beteiligt, weshalb die Strömungsgeschwindigkeit sinkt. Es wirkt aber keine Kraft auf diese Luft, weswegen der Impuls als Ganzes erhalten bleibt.

Zur Wahrung der Energieerhaltung bei Durchmischung ist zu beachten, dass durch die Abnahme der mittleren Strömungsgeschwindigkeit zwar die kinetische Energie abnimmt. Gleichwohl wird diese kinetische Energie in thermische Energie umgewandelt, wodurch die Energie als Ganzes erhalten bleibt.

Ein Analogon hierzu aus der Schulphysik ist der unelastische Stoß.


Dynamischer Auftrieb Am Auftrieb beteiligte physikalische Größen


Dieses Kapitel beschreibt zunächst das Strömungsfeld um eine Tragfläche. Hiernach werden die wichtigsten Kräfte und ihr Beitrag zum Auftrieb diskutiert. Grundlage hierzu ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung des Auftriebs im Anhang.


Dynamischer Auftrieb Das Strömungsfeld

Strömungsfeld um ein Tragflächenprofil. Medium unterhalb des Profils bleibt im Vergleich zu dem auf der Oberseite zurück.

Ein Tragflächenprofil, das ein Medium mit einem geeigneten Anstellwinkel durchquert, schiebt das Medium nicht nur zur Seite. Zusätzlich wird das Medium tangential zur Bewegung beschleunigt. Auf der Unterseite erfolgt eine leichte Beschleunigung in Richtung der Bewegung wie bei einer Bugwelle. Viel stärker ist auf der Oberseite des Profils eine Beschleunigung gegen die Bewegungsrichtung, also nach hinten.

Der Einfluss des Profils ist am stärksten nahe der Oberfläche. Dies führt dazu, dass benachbarte Pakete des Mediums, die von der Vorderseite des Profils getrennt wurden, hinter dem Profil nicht wieder zusammen kommen. Vielmehr bleiben sie auf Dauer getrennt – im nebenstehenden Beispiel einer simulierten Strömung um fast eine Profiltiefe. Dieser Versatz des oben strömenden Mediums gegenüber dem unteren lässt sich mit gepulsten Rauchfahnen experimentell beobachten.[3]


Dynamischer Auftrieb Der Druck

Druckfeld um einen Flügel (schematisch)

Die Skizze rechts zeigt das Druckfeld um einen Flügel. Es ist charakterisiert durch tiefen Druck über dem Flügel mit zunehmendem Druck nach oben und hohem Druck unter dem Flügel mit abnehmendem Druck nach unten. Dieses Druckfeld übt daher auf die hier befindliche Luft eine Kraft nach unten aus.

Das Bild zeigt weiterhin zwei Volumina (grün gestrichelt), die jeweils das Flugzeug enthalten. Ober- und unterhalb des kleinen, zentralen Volumens befinden sich zwei Volumina, die das Flugzeug nicht enthalten. Die vertikalen Druckkräfte auf jedes Volumen ergeben sich aus der Druckverteilung auf den horizontalen Randflächen:

  • Das kleine, zentrale Volumen erhält durch den Druck kräftigen Auftrieb. Die Druckunterschiede zwischen der oberen und unteren Begrenzungsfläche sind groß.
  • Entsprechend hat das große Volumen nur schwachen bis unmerklichen Auftrieb. Die Ränder sind so weit vom Flügel entfernt, dass fast kein Druckunterschied mehr existiert.
  • Die beiden Volumina, die das Flugzeug nicht enthalten, erfahren durch den Druck Abtrieb.

Auf diese Weise lassen sich beliebig – auch vor und hinter dem Flügel – Volumina nach dem Bausteinprinzip zusammenstellen. Die jeweilige Druckkraft wird im Allgemeinen immer individuell für jedes Volumen differieren. Alleine daher ist die Druckkraft zur Beschreibung des Auftriebs eines Flugzeugs ungeeignet.

Mit zunehmender Entfernung nimmt die Änderung des Luftdrucks durch den Flügel ab. Dies erlaubt die Definition eines Einflussbereichs als das Gebiet um den Flügel, innerhalb dessen der Druck einen signifikanten Anteil am Gesamtauftrieb hat. Dieser Einflussbereich ist in jedem Falle klein (vielleicht bis zu 100 m bei Verkehrsflugzeugen) im Verhältnis zur erreichbaren Flughöhe von bis zu 20 km. Hiermit begründet sich, dass die Druckkraft in der Zusammenfassung nicht genannt ist. Eine prinzipiell maximale Flughöhe gibt es darüber hinaus nicht.

Gleichwohl gibt es in der integrierten Bewegungsgleichung noch als zweiten Term zur Kompensation der Gewichtskraft des Flugzeugs die Impulsproduktion der Luft, aus der nach Integration der Impulsfluss durch die Volumenoberfläche wurde.


Dynamischer Auftrieb Der Impulsfluss

Strömungsablenkung durch Tragflächenprofil

Gelangen Luftteilchen in den oben definierten Einflussbereich des Flügels, werden sie entsprechend dem dort nach unten abnehmenden Druck nach unten beschleunigt. Entsprechend ihrer Masse wird also Vertikalimpuls produziert. Nach Verlassen des Einflussbereiches wirkt keine Kraft mehr auf die Luftteilchen – ihr Impuls bleibt erhalten.

Integriert man dies über ein ortsfestes Volumen, wird aus der Impulsproduktion der Teilchen der Impulsfluss durch die gesamte Oberfläche des Volumens.

Auf Volumina ohne Flugzeug übt das Druckfeld insgesamt eine Kraft aus, wenn sie teilweise im Einflussbereich des Flügels sind – im Allgemeinen nach unten. Da diese jedoch im Sinne dieses Artikels kräftefrei sind, und keine weiteren Kräfte vorhanden sind, ist die Impulsproduktion und damit der Impulsfluss aus dem Volumen heraus die Gegenkraft zur Druckkraft.

Bei Volumina mit Flugzeug wird das Flugzeug grundsätzlich von der Summe aus Druckkraft und Impulsproduktion (-fluss) getragen. Da die Druckkraft mit größer werdendem Volumen klein wird, bleibt im Allgemeinen nur der im Einflussbereich produzierte Impuls, der nach Verlassen des Einflussbereichs erhalten bleibt. Diese Impulsproduktion ist somit die Gegenkraft, die das Flugzeug trägt.


Dynamischer Auftrieb Die Viskosität

Umströmung eines Flügels für

Die Viskosität der Luft wurde in der bisherigen Diskussion weitgehend ausgeklammert. Es wurde auch nur gezeigt, dass die Umströmung des Flügels im Allgemeinen durch Produktion von Vertikalimpuls die Gegenkraft zur Gewichtskraft des Flugzeugs bildet. Es wurde jedoch ausgeklammert, warum die Luft dies tut, und die Strömung nicht z. B. wie in der Skizze ähnlich wie bei Umströmung einer quer zur Strömung stehenden Platte verläuft und dabei keinen Auftrieb liefert.

Über die vertikale Scherung der Horizontalströmung durch die Viskosität in der Grenzschicht hat die Strömung hier die Tendenz, in Strömungsrichtung sanft gebogenen Oberflächen zu folgen.[4][5] Direkt an der Oberfläche ist die Geschwindigkeit exakt Null. Sie wird größer mit zunehmendem Abstand von der Oberfläche, bis sie die Fluggeschwindigkeit erreicht. Durch diese Scherung hat die Luft in der Grenzschicht eine Wirbelstärke. Die Viskosität bewirkt Kräfte, durch die die Geschwindigkeiten benachbarter Stromlinien angeglichen sowie die Wirbelstärke homogenisiert werden.


Dynamischer Auftrieb Die Kausalkette zum Auftrieb


Verlässt nun ein Teilchen mit seiner Wirbelstärke wegen der gebogenen Oberfläche die Grenzschicht tangential, wird die Viskosität die Scherung des Geschwindigkeitsfeldes homogenisieren und die Wirbelstärke bleibt auf einem mittleren Wert. Mangels Scherung erzwingt sie eine gekrümmte Trajektorie in Richtung zurück zur Oberfläche. Als Gegenkraft hierzu verringert sich der Druck an der Oberfläche. Dieser niedrige Druck beschleunigt auch Luft oberhalb der Grenzschicht nach unten. Der Druck ist auch niedriger als der Druck entlang des Flügel stromaufwärts. Deshalb wird die Strömung auch tangential über den Flügel nach hinten beschleunigt.


Dynamischer Auftrieb Energieerhaltung


Bislang wurde kein Unterschied gemacht zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung. Für die Betrachtung der Impulsbilanz unter dem Einfluss von Kräften ist diese Unterscheidung auch unwichtig. Bei der Betrachtung der Energetik ist jedoch die Arbeit gegen Volumenänderung wichtiger Bestandteil bei kompressibler Strömung. Hier wird jedoch weiterhin Stationarität aus Sicht des Flugzeugs und Reibungsfreiheit (außerhalb der Grenzschicht) angenommen.


Dynamischer Auftrieb Inkompressibilität

Für inkompressible, stationäre Strömung konstanter Dichte gilt zunächst entlang einer Trajektorie das Gesetz von Bernoulli: Die Summe aus dem Quadrat der Geschwindigkeit und dem Quotient aus Druck und Dichte ist konstant. Für Luftteilchen, die in den Einflussbereich des Flügels gelangen bedeutet dies:

  • Bei Druckabnahme über dem Flügel nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu.
  • Bei Druckzunahme unter dem Flügel nimmt die Strömungsgeschwindigkeit ab.

Das Gesetz von Bernoulli macht keine Aussage über Ursache und Wirkung, sondern es beschreibt nur eine Relation zwischen Druck- und Geschwindigkeitsfeld. Das Gesetz von Bernoulli folgt unmittelbar aus dem Prinzip der Energieerhaltung. Hierbei ist das Druckfeld ein Potential der Kraft.


Dynamischer Auftrieb Kompressibilität

Nebelbildung im Unterdruckbereich der Tragflächen eines Flugzeuges

Bei Umströmung eines Tragflügels kann mit hinreichender Genauigkeit Inkompressibilität angenommen werden, wenn die Fluggeschwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit ist. Beim Verkehrsflug und großen Teilen des Militärfluges muss jedoch die Kompressibilität berücksichtigt werden.

Bei Druckänderung entlang einer Trajektorie ist eine Geschwindigkeitsänderung nach Bernoulli daher nicht mehr die einzige Variante, um die Energieerhaltung zu erzwingen. Alternativ hat die Luft die Möglichkeit, ihr Volumen zu vergrößern, bzw. die Dichte zu verringern. Hierbei wird Arbeit verrichtet, die durch Verringern der inneren Energie, also bei Abwesenheit von Wärmequellen durch adiabatische Abkühlung kompensiert wird. Auf diese Weise kann es zu Kondensation und Nebelbildung über der Tragflügeloberseite kommen (Bild rechts).


Dynamischer Auftrieb Andere Erklärungsmodelle



Dynamischer Auftrieb Die Zirkulation – der Beobachter am Boden

Zirkulationsströmung um einen Flügel

Der Beobachter am Boden sieht ein Flugzeug durch ruhende Luft fliegen. Die Strömung aus seiner Sicht ergibt sich durch Subtraktion der überall gleichen Fluggeschwindigkeit (Skizze, grüner Pfeil) von der bisher betrachteten Strömung aus Sicht des Flugzeugs:

  • Oberhalb des Flügels ist die Strömung aus Sicht des Flugzeugs schneller als die Fluggeschwindigkeit. Der Beobachter am Boden sieht daher eine Strömung nach hinten entgegen der Flugrichtung.
  • Unterhalb des Flügels ist die Strömung aus Sicht des Flugzeugs langsamer als die Fluggeschwindigkeit. Der Beobachter am Boden sieht daher eine Strömung nach vorne in Flugrichtung.
  • Das Druckfeld bewegt sich wie bisher betrachtet mit dem Flügel mit und bewirkt aus Sicht des am Boden stehenden Beobachters eine Vertikalbewegung direkt hinter dem Flügel nach unten.
  • Aus Gründen der Massenerhaltung gibt es immer eine Vertikalbewegung nach oben vor dem Flügel. Wegen der großen Fläche, auf die sie verteilt ist, hat sie für den Auftrieb keine Bedeutung.

Das Ergebnis ist die Zirkulationsströmung, wie sie in der Abbildung durch Stromlinien skizziert ist. Eine Stromlinie erhält man aus einer Momentaufnahme durch Verbinden aller Punkte in Richtung der Strömung in diesem Punkt und zu dem betrachteten Zeitpunkt. Stromlinien sind immer geschlossen oder sie enden am Rand des betrachteten Gebietes. Aus Sicht des Flugzeugs erhält man die gleiche Zirkulation aus der Geschwindigkeitsdifferenz der Strömung über und unter der Tragfläche.

Diese Zirkulation wird häufig zur Erklärung des Auftriebs verwendet. Hierbei wird die Bildung der Zirkulation als Gegenwirbel zum hinter dem Flügel beobachteten Anfahrwirbel erklärt und damit begründet, dass die Gesamtzirkulation aus Anfahrwirbel und Zirkulationsströmung Null sein muss (Helmholtzscher Wirbelsatz). Mathematisch liefert diese Methode in 2D auch gute Ergebnisse, zur vollständigen Erklärung des Auftriebs ist sie jedoch unzureichend:

  • Sie reduziert das Problem auf zwei Dimensionen, weil der zugrundeliegende Integralsatz von Stokes dies erfordert.
  • Der Helmholtzsche Wirbelsatz sagt nichts über Ursache und Wirkung der beteiligten Wirbel. Im vorliegenden Fall ist der Anfahrwirbel der Gegenwirbel zur Zirkulationsströmung um den Flügel. Für die Stärke des Wirbelpaares wird die empirische Kutta-Bedingung [6] herangezogen, nach der die Zirkulation um den Flügel so ist, dass Strömung an der scharfkantigen Endleiste glatt abströmt.

Das mathematische Modell einer wirbelfreien Zirkulationsströmung um den mit Fluggeschwindigkeit fliegenden Flügel liefert jedoch in vielen Fällen gute quantitative Ergebnisse für den Auftrieb. Dies gilt besonders für Flügel mit großer Streckung im Unterschallbereich, also z. B. Segelflugzeuge. Der Grund liegt in der Ähnlichkeit der Vereinfachungen einer allgemeinen Strömung, damit diese nach Bernoulli oder als wirbelfreie Potentialströmung beschrieben werden kann.

Die genannte Kutta-Bedingung erfüllt zwar ihren Zweck bei der praktischen Berechnung des Auftriebs, ist aber physikalisch nicht begründbar [7][8]. Die physikalisch korrekte Begründung liegt in der Viskosität der Luft, durch die die Luft in der wenige Millimeter dicken Grenzschicht gezwungen wird, sanft gebogenen Oberflächen zu folgen. Als Folge strömt die Luft an der scharfen Endleiste entsprechend der Kutta-Bedingung ab.


Dynamischer Auftrieb Zu Bernoulli

Die Bernoulli-Gleichung ist eine stark vereinfachte Form der Navier-Stokes-Gleichungen. Sie gilt entlang einer Trajektorie bei stationärer, inkompressibler und viskositätsfreier Strömung in einem Gebiet das keine Wirbel enthält. Wegen der Einschränkungen ist die Bernoulli Gleichung nur sehr eingeschränkt zur Erklärung von Strömungen zur Auftriebsgewinnung geeignet:

  • Insekten- und Vogelflug scheiden aus, weil die Umströmung der Flügel durch Flügelschlag nicht stationär ist.
  • Verkehrs- und Militärflug scheiden aus, weil hier die Schallgeschwindigkeit erreicht oder überschritten wird. Die Kompressibilität ist somit zwingend zu berücksichtigen.

Beim klassischen Segel-, Motor und auch Modellflug sowie dem Segelflug der Vögel sind in der Umströmung der Flügel außerhalb der Grenzschicht die Bedingungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung erfüllt. Sie gibt jedoch keine Aussage über Ursache und Wirkung, sondern beschreibt nur den Zusammenhang zwischen Druck- und Geschwindigkeitsfeld.


Dynamischer Auftrieb Anhang: Mathematisches Auftriebsmodell


Symbole
\!\,\rho Die Luftdichte
\vec v Die (Strömungs)geschwindigkeit
\!\,p Der Druck als Komponente des Spannungstensors.
\vec \nabla Gradient Operator
\vec a \cdot \vec b Skalarprodukt von \vec a und \vec b
\vec a \vec b Dyadisches Produkt der Vektoren \vec a und \vec b
\frac{D}{Dt} Zeitliche Änderung eines Massenpunktes oder folgt man der Trajektorie.
\check E, ~ \check F Einheits-, Reibungstensor nach Navier Stokes

Dieses Kapitel benutzt das Flugzeug als Beispiel für ein allgemein fliegendes Objekt. Die benutzte Mathematik ist jedoch sehr viel allgemeiner anwendbar, so auch auf Flügelschlag bei Vögeln oder Insekten. In späteren Versionen des Kapitels soll die Terminologie daher entsprechend verallgemeinert werden.

Mathematisch-physikalische Beschreibung der Umströmung des Tragflügels sind die Navier Stokes Gleichungen, hier die Kontinuitätsgleichung und die Bewegungsgleichung. Bei vollständiger Betrachtung der Kompressibilität gehörte die Energiebilanz (der 1. HS Thermodynamik) dazu, was hier jedoch nicht betrachtet wird.


Dynamischer Auftrieb Die Kontinuitäts- oder Massenbilanzgleichung

basiert auf der Massenerhaltung. Es gibt im betrachteten Gebiet keine Quellen oder Senken.

\frac{D \rho}{Dt} + \rho \vec \nabla \cdot \vec v = 0.

Dynamischer Auftrieb Die Bewegungs- oder Impulsbilanzgleichung

beschreibt die Impulsänderung eines Massenpunktes als Summe der einwirkenden Kräfte:

\frac{D \vec v}{Dt} = \dot{\vec v} = \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec\nabla \vec v
= \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec\nabla \left ( \frac{\vec v^2}{2} \right ) - \vec v \times \vec j
= - \frac{1}{\rho} \vec \nabla p + \vec \nabla \cdot \check F

Hier ist \vec j = \vec\nabla \times \vec v die Wirbelstärke. Der Druck ist die Abweichung von der hydrostatischen Druckabnahme mit der Höhe, die die Gegenkraft zur Gravitation ist. Deshalb fehlt die Gravitationskraft (-g \rho \vec k, \vec k vertikaler Einheitsvektor). Hieraus lassen sich für stationäre und zunächst viskositätsfreie Strömung folgende idealisierte Strömungen ableiten:

Die wirbelfreie Strömung

Hier ist definitionsgemäß \vec j = 0. Der Gradient kinetischer Energie balanciert den Druckgradienten. Dies ist die bekannte Relation nach Bernoulli, hier für den Spezialfall, dass die Relation bei wirbelfreier Strömung im gesamten Gebiet gilt.

Die Strömung konstanten Betrags der Geschwindigkeit

Hier ist definitionsgemäß |\vec v| = const. Eine endliche Wirbelstärke wird somit durch eine gekrümmte Stromlinie erreicht. Die hierfür benötigte Kraft wird durch einen entsprechenden Gradienten des Druckfeldes erzeugt.

Die kräftefreie Scherströmung

Hier ist definitionsgemäß \dot{\vec v} = 0 und damit ohne Viskosität das Druckfeld homogen. Jedes Teilchen bewegt sich geradlinig unbeschleunigt. Quer zur Strömung variiert die Geschwindigkeit, weshalb \vec j \neq 0. Der Gradient kinetischer Energie balanciert den Term mit der Wirbelstärke.

Diese Strömung erscheint zunächst trivial. Berücksichtigt man jedoch die Viskosität, werden Kräfte auf die Teilchen ausgeübt, welche die Strömungsgeschwindigkeit homogenisieren und die Wirbelstärke mindern. Die stationäre Strömung hat daher ein homogenes Geschwindigkeits- und Druckfeld. Die transiente Phase dazwischen erlaubt je nach Stärke und Größe der Scherung Wirbelbildung mit Krümmung der Trajektorien in Richtung der Wirbelstärke. Ein Druckgradient quer zur Strömungsgeschwindigkeit wird hierzu als Gegenkraft erzeugt.


Dynamischer Auftrieb Das ortsfeste Luftvolumen

Symbole
A, ~ V A ist die Oberfläche des Volumens V
\mathrm{d} \vec n lokaler Normalenvektor auf A.
\vec G Gewichtskraft des Flugzeugs

Zur Beschreibung eines ortsfesten Luftvolumens (hier um ein Flugzeug) ist diese Beschreibung unglücklich, weil Navier Stokes die zeitliche Änderung auf einem Luftteilchen oder Trajektorie beschreibt. Mit Hilfe der Kettenregel können wir jedoch schreiben (Euler Zerlegung):

\frac{D \vec v(\vec r, t)}{Dt} = \dot{\vec v} = \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec\nabla \vec v.

Nach Multiplikation mit der Dichte \rho und Benutzung der Kontinuitätsgleichung wird aus Navier Stokes für den spez Impuls \rho \vec v:

\frac{\partial \rho \vec v}{\partial t} + \vec\nabla \cdot (\rho \vec v \vec v - p \check E + \check F) = 0

Diese Gleichung lässt sich nun über ein ortsfestes (hier flugzeugfestes) Volumen integrieren. Mit Hilfe des Gaußscher Integralsatz erhält man:

\int\limits_V \frac{\partial \rho \vec v}{\partial t} \mathrm{d}V = \oint\limits_A (\rho \vec v \vec v - p \check E + \check F) \cdot \mathrm{d} \vec n + \vec G.

\vec G steht zunächst unvermittelt in der Integralform der Bewegungsgleichung und ist die Gewichtskraft des im Volumen befindlichen Flugzeugs. Das Flugzeug hat sicher auch quantifizierbaren Einfluss auf jeden individuellen Massenpunkt wie im vorigen Abschnitt betrachtet, dieser ist aber praktisch nicht zu bestimmen. Hier, in der Integralform der Gleichung erscheint auch das Flugzeuggewicht nur als Ganzes. Für Volumina, die das Flugzeug nicht enthalten, ist \vec G = \vec 0.


Dynamischer Auftrieb Die Kraftterme

Inhaltlich ist die zeitliche Änderung des Impulses I eines Volumens bestimmt durch

  • den advektiven Fluss von Impuls durch die Oberfläche, (\rho \vec v \vec v \cdot \mathrm{d} \vec n = \rho \vec v\mathrm{ d} v_\mathrm{n},\ v_n ist die Normalkomponente der Flussgeschwindigkeit durch die Oberfläche). Impuls jeder Komponente kann durch eine beliebig orientierte Oberfläche fließen.
  • den statischen Druck, dessen Kraft immer senkrecht auf dem zugehörigen Oberflächenelement steht ( \check E \cdot d \vec n = \mathrm{d} \vec n) und die immer in das Volumen hinein zeigt (= -p \mathrm{d} \vec n). Insbesondere braucht man horizontale Flächen, um über den Druck Kräfte in vertikaler Richtung auszuüben.
  • die Viskosität, deren Einfluss durch den Spannungstensor \check F = \nu \vec\nabla \vec v an der Oberfläche des Volumens bestimmt ist. Da die Scherung der Strömung nur in der Grenzschicht wichtig ist, kann die Viskosität bei Betrachtung großer Volumina außer Acht gelassen werden.
  • Bei stationärer Strömung wird \frac{\partial \rho \vec v}{\partial t} = 0. Im klassischen Flugzeug ist die Umströmung aus Sicht des Flugzeugs sehr gut durch Stationarität beschrieben.

Bei stationärer Strömung z.B. eines Flugzeugs wird das Gewicht des Flugzeugs demnach nur durch Oberflächenkräfte also durch die Randbedingungen des betrachteten Volumens balanciert. Volumina hierzu sind beliebig groß, haben jedoch die Einschränkung, für diese Diskussion zeitlich konstant aus Sicht des Flugzeugs zu sein.


Dynamischer Auftrieb Einschränkungen

Die obige Betrachtung ist unvollständig:

  • Die Viskosität ist unberücksichtigt geblieben, sie kann aber wie der Druckterm über die Divergenz des Spannungstensors als Oberflächenkraft mitgeführt werden. Viskose Effekte spielen jedoch nur in der Grenzschicht des Flügels eine wichtige Rolle. Diese ist aber auch bei Verkehrsflugzeugen nur wenige Zentimeter dick. Wird später die physikalische Kausalität diskutiert, wird die Viskosität wieder hervorgeholt.
  • Die Stationarität ist sinnvoll im klassischen Flugzeug. Vogelflug (mit Flügelschlag) kann damit nicht diskutiert werden. Auch bei zeitlicher Mittelbildung über die Periode eines Flügelschlages ist wegen der Nicht-linearität des Impulsflusses dieser Term sehr vorsichtig zu diskutieren.
  • Bei Stationarität sind auch rotierende Tragflächen (Rotoren von Helikoptern, Propeller, Tischventilatoren) bei dieser Form der Bewegungsgleichung zunächst ausgeschlossen. Im dann rotierenden Bezugssystem sind die Trägheitskräfte Zentrifugal- und Corioliskraft auf ihre Wichtigkeit im Kräftespiel zu diskutieren. Diese Kräfte stehen jedoch lotrecht zur Rotationsachse und spielen daher bei der Diskussion des Auftriebs keine Rolle, weil diese Kräfte parallel zur Rotationsachse zeigen.

Dynamischer Auftrieb Literatur



Dynamischer Auftrieb Einzelnachweise


  1. NASA, Glenn Research Centre: "Lift occurs when a moving flow of gas is turned by a solid object. The flow is turned in one direction, and the lift is generated in the opposite direction, according to Newton's Third Law of action and reaction."
  2. Wodzinski, Kap. 3: (PDF-Datei; 288 kB) "Wenn eine stationäre Strömung vorliegt, kann man die Kraft auf einen Körper in der Strömung bestimmen, indem man ein beliebiges Kontrollvolumen um den Körper legt und ein- und ausströmenden Impuls und den Druck an den Grenzflächen des Kontrollvolumens auswertet. Egal wie man das Kontrollvolumen legt, immer kommt die Auftriebskraft heraus"
  3. Rauchkammer-Video von der Umströmung eines Profils, University of Cambridge, Department of Engineering
  4. Anderson and Eberhardt, Kap. Air bending Over a Wing (PDF-Datei; 472 kB): "Think of two adjacent streamlines with different speeds. Since these streamlines have different velocities forces between them trying to speed up the slower streamline and slow down the faster streamline. The speed of air at the surface of the wing is exactly zero with respect to the surface of the wing. This is an expression of viscosity. The speed of the air increases with distance from the wing. Now imagine the first non-zero velocity streamline that just grazes the highpoint of the top of the wing. If it were initially to go straight back and not follow the wing, there would be a volume of zero velocity air between it and the wing. Forces would strip this air away from the wing and without a streamline to replace it, the pressure would lower. This lowering of the pressure would bend the streamline until it followed the surface of the wing."
  5. Weltner and Ingelmann-Sundberg: Misinterpretations of Bernoulli's Law Kap. 3.2: "The Coanda-effect can be understood taking viscosity into consideration. In figure 6 we assume the stream to start. It will flow horizontally. But due to viscosity some layers of the adjacent air will be taken away by the stream. In this adjacent region - dotted in figure 6 - the air is sucked away and hence, gives rise to a reduction of pressure, consequently producing a normal acceleration of the stream. By the end of the process the stream fits the shape of the curved surface. This Gedankenversuch illustrates the importance of viscosity in generating of stationary flow. Also the stationary flow around an aerofoil which produces lift is only possible due to the Coanda-effect and the air's viscosity."
  6. Kutta-Bedingung in der englischen Wikipedia
  7. Hoffren, Kap. 2: "If this (die Kutta-Bedingung) is accepted as an axiom, the generation of lift instantly becomes equivalent to the generation of circulation."
  8. Anderson and Eberhardt, Kap. Air bending Over a Wing (PDF; 483 kB): "Often, calculations of lift are made in the limit of zero viscosity. In these cases viscosity is re-introduced implicitly with the Kutta-Joukowski condition, which requires that the air come smoothly off at the trailing edge of the wing."

Dynamischer Auftrieb Weblinks




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